垂心定理的证明方法（垂心定理）
2023-03-30 14:22:18 来源：互联网
【资料图】
1、用高中解析几何证明，知识点有正弦定理和三角函数。
2、正弦定理：△ABC的三个顶点A、B、C所对边分别为a、b、c，则a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R，R是△ABC的外接圆的半径.证明：设从△ABC三个顶点A、B、C向所对边作垂线，垂足分别为F、D、E；三条高线交于一点，即垂心，设为H；由相似直角三角形的知识易知：Rt△CHF∽Rt△CBE，则由对顶角相等，可知：∠CHF=∠CBA=∠AHE；同理：∠BHF=∠BCA=∠AHD、∠CHD=∠CAB=∠BHF；则∠CHB=∠CHF+∠BHF=∠CBA+∠BCA=180°-∠CAB，则sin∠CHB=sin(180°-∠CAB)=sin∠CAB，则在△ABC中BC/sin∠CAB=2R，R为△ABC的外接圆的半径；而在△HBC中BC/sin∠CHB=BC/sin∠CAB=2R，即△HBC的外接圆的半径也等于R；同理△AHB和△AHC的外接圆半径也等于R，得证！ 注意：画三角形，就画锐角三角形，钝角三角形的情形与此结果相同，只是复杂一点，没必要分别考虑！。
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